Las ecuaciones diferenciales tienen muchísimas aplicaciones en física, química, economía, biología e ingeniería. De mi paso por la universidad lo que más recuerdo es resolver ejercicios relacionados con el crecimiento de poblaciones.
Antes de meternos en harina, hagamos un rápido repaso de lo que es una ecuación diferencial.
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen una función y una o más de sus derivadas. Si la función tiene solo una variable independiente (que son las que vamos a ver aquí), la ecuación se denomina «ecuación diferencial ordinaria» y si depende de dos o más variables independientes, las derivadas serán parciales y la ecuación se denominará «ecuación en derivadas parciales», en este caso, se pone en relación el ritmo de cambio de una variable con respecto al ritmo al que cambian otras.
Un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria (de ahora en adelante «ecuación diferencial») es
$y´´ +4y´-2y=4$
o escrito de otra forma
$\frac{d^2y}{dx^2}+4\frac{dy}{dx}-2y=4$
Una función y=f(x) se denomina solución de una ecuación diferencial si la ecuación se satisface al sustituir $y$ y sus derivadas por f(x) y sus derivadas.
Para verlo más claro, para el caso de la ecuación $y´+ 2y=0$, las funciones
$y=e^{-2x}$
$ y=3e^{-2x}$
$ y=\frac{1}{2}e^{-2x}$
son soluciones. A la solución $y=Ke^{-2x}$ se le llama solución general, siendo K un número real cualquiera.
Una vez recordado a lo que llamamos ecuaciones diferenciales, podemos decir que estas se utilizan mucho por ejemplo en:
- Análisis de poblaciones: Medir como crece una población que puede ser de personas, árboles, bacterias, animales, etc.
- Analisis de poblaciones depredadoras. De la universidad aún recuerdo un ejercicio relacionado con el crecimiento de una población de lobos. Existe una relación entre la población de depredadores y sus presas, si hay más lobos habrá menos presas y si hay menos lobos habrá más presas, pues estas se reproducirán mejor. Casos como este en el que tenemos dos poblaciones los describiríamos con un sistema de ecuaciones diferenciales.
- Ley de enfriamiento de Newton: Trata sobre la velocidad con la que los objetos tienden a enfriarse o a calentarse para igualarse con la temperatura del ambiente. Esto se visualiza muy bien con el ejemplo de las tazas de café. Supongamos que la temperatura ambiente es de 21ºC y que tenemos una taza de café a 75ºC, según vaya transcurriendo el tiempo, la taza de café se irá enfriando hasta igualar a la temperatura del ambiente. Lo mismo ocurre si tenemos una taza de café a 15ºC, se irá calentando hasta llegar a los 21ºC. Utilizando ecuaciones diferenciales podríamos dar respuesta a preguntas del estilo ¿cuál será la temperatura de la taza de café después de haber transcurrido diéz minutos?.
- Las mezclas en química también se pueden describir con ecuaciones diferenciales. Por ejemplo supongamos que tenemos un depósito con 50l de una solución compuesta por 90% de agua y 10% de alcohol. Se vierte en el depósito una segunda solución compuesta al 50% de agua y 50% de alcohol a una velocidad de 4l/min. Al mismo tiempo se vacía el depósito a una velocidad de 5l/min. Suponiendo que la solución del depósito se agita constantemente, ¿cuanto alcohol queda en el depósito después de transcurridos 10 minutos?.
Modelado Simple de Población
Vamos a representar a la población con la variable P. Pero la población depende del tiempo, si partimos de una población de 1000 personas, transcurrido un año la población puede ser más o menos. Vamos por tanto a hablar de P(t). P es una función que dependerá de la variable «t»
Supongamos que nos dan más datos y nos dicen que la Tasa de Natalidad de esa población es del 10% anual (constante N) y que la tasa de mortalidad es del 5% anual (constante M).
Esto quiere decir que transcurrio un año tendremos 0,1×1000=100 nacimientos y 0.05×1000=50 muertes.
Estas tasas pueden depender de la cantidad de población que haya, por ejemplo al haber más población podria haber menos alimento y más personas morirse. Para simplificar las cosas vamos a considerar que N y M son constantes y no cambian/varian con el tiempo.
Vamos a llamar $\Delta t$ a un intervalo de tiempo que puede ser de medio año, o de dos años, da igual, nosotros queremos conociendo una población en un determinado tiempo P(t), calcular la población $P(t+\Delta t)$ , es decir, la población cuando ha transcurrido $ t + \Delta t$
$P(t+\Delta t)=P(t) + nacimientos – muertes$
Pensemos en que queremos saber la población que habrá en dos años para concretar algo y tratar de visualizarlo mejor.
Podríamos pensar que el número de nacimientos en dos años es
0.1 x 1000 x 2
0.1 por el 10%, 1000 que es la población y 2 porque es en dos años, pero no porque la población trascurrido el primer año es de 1000+nacimientos en un año según N + muertes en un año según M, i.e:
1000 + 0.1 x 1000 – 0.05×1000 = 1050 personas
Es decir, después del primer año, la población que tenemos que considerar para obtener los nacimientos ya no es 1000 sino 1050.
De igual forma, si en lugar de ir calculando la población cada año, la vamos calculando cada mes, pues esta va a ir variando un poco cada mes y vamos a ser más exáctos en los cálculos.
Por resumir, 0.1 x 1000 x 2 es una aproximación «bruta» de los nacimientos en dos años, pero si disminuimos el tiempo considerando $\Delta t$ pequeño, la aproximación va a ser mejor.
Nacimientos = $N P(t) \Delta t$
Muertes=$M P(t) \Delta t$
La fórmula nos queda $P(t+\Delta t) = P(t) + nacimientos – muertes$
$P(t+\Delta t) = P(t)+ N P(t) \Delta t – M P(t) \Delta t$
Vamos a dejar mejor esta ecuación/modelo que hemos obtenido.
$P(t+\Delta t) = P(t)+ (N – M )P(t) \Delta t$
$P(t+\Delta t) – P(t) = (N – M )P(t) \Delta t$
Ahora pasamos $\Delta t$ al lado izquierdo y N-M como es una constante la vamos a llamar C
$\frac{P(t+\Delta t) – P(t)}{\Delta t} = C \cdot P(t) $
La expresión del lado izquierdo vemos claramete que es la definición de la derivada. Vamos a calcular el límite cuando $\Delta t$ tiende a 0 para ser muy precisos y tener la fórmula de como cambia la población en cada instante, no en cada año o cada mes sino en cada momento.
$\lim_{\Delta t \to 0} \frac{P(t+\Delta t) – P(t)}{\Delta t} = C \cdot P(t) $
El lado izquierdo es la derivada de la función P así que nos queda
$P´(t)=C\cdot P(t)$
Esta ya es una ecuación diferencial porque aparece una derivada.
Vamos a resolver esta ecuación:
$P´(t)$ lo podemos escribir como $\frac{dP}{dt}$
$\frac{dP}{dt}= CP$
$\frac{dP}{P}= Cdt$
$\int \frac{dP}{P}= \int Cdt$
$ln P= Ct+C_1$
$P=e^{Ct+C_1}$
$P=e^{Ct}e^{C_1}$
Como $C_1$ es una constante arbitraria, $e^{C_1}$ sigue siendo una constante, así que lo vamos a escribir como K.
$P=K\cdot e^{Ct}$
Esta es la función que nos da la población en cada instante t, escrito en notación de función queda
$P(t)=K \cdot e^{Ct}$
Si nosotros tomamos el instante 0, tenemos la población al inicio.
$P(0)=K\cdot e^{C \cdot 0}$
$P(0)=K$
Es decir, K es la población al inicio, que en nuestro caso era 1000, pero que para hacer la función más general vamos a llamar $P(0)=P_0$
$P(t)=P_0 \cdot e^{Ct}$
Con esto ya lo tenemos todo porque la constante K la conocemos K=N-M
Resumiento, utilizando ecuacines diferenciales hemos obtenido la función que modela el crecimiento de una población sencilla. Digo sencilla porque naturalmente en el crecimiento o decrecimiento de una población hay que tener en cuenta muchos factores que influyen y no solo las tasas de natalidad y de mortalidad, pero a modo explicativo el ejemplo es suficiente.
Ley de enfriamiento de Newton
La ley de enfriamiento de Newton dice: «La razón de cambio de temperatura de un objeto, es proporcional a la diferencia de su temperatura y la del ambiente»
Supongamos que tenemos una taza de café a 75ºC y la temperatura ambiente es de 21ºC. Nosotros queremos medir como va cambiando la temperatura del café con con paso del tiempo.
Nos ponemos a medirlo y vemos lo siguiente:
Con t=0 la temperatura es 90ºC.
Con t=10 minutos la temperatura es 45ºC.
Con t=20 minutos la temperatura es 34ºC, al principio se enfrió más rápido que ahora.
Con t=30 minutos, la temperatura es 26ºC.
Según va pasando el tiempo, el café se va enfriando más despacio y si dejamos pasar más el tiempo, llegará un momento en el que la taza de café estará a la teperatura ambiente. Esto es lo que nos dice la ley de enfriamiento de Newton, i.e, que cuanto mayor sea la diferencia de temperatura entre la taza de café y la temperatura ambiente, más rápido se va a enfriar esta y cuanto menor sea la diferencia, el enfriamiento será más lento.
Vamos a ver cómo resolver esto con ecuaciones diferenciales.
Llamemos T(t) a la temperatura del objeto o en este caso la taza de café en el instante t, i.e, es una función porque esa temperatura no es constante sino que depende del tiempo «t».
Vamos a representar a la constante Temperatura del Ambiente como la constante «A». Si somos estrictos, la temperatura del ambiente también puede ir cambiando según hacemos la prueba y por tanto sería una función, pero por hacerlo más sencillo vamos a considerar que no cambia y es constante.
La otra cosa de la que nos habla la ley es de la razón de cambio de la temperatura, razón de cambio respecto al tiempo. La razón de cambio, significa derivar la función de la cual estamos midiedo esa razón, i.e, la razón de cambio es la derivada de la función temperatura. T´(t) es la razó de cambio o velocidad con la que va variando la temperatura.
La ecuación diferencial que modela la ley de enfriamiento de Newton es por tanto:
La razón de cambio (T'(t) ) es proporcianal (es decir k) a la diferencia de la temperatura T(t) y la temperatura del ambiente A.
$T´(t)=k \cdot (T(t)-A)$
Este sería otro ejemplo de uso de ecuaciones diferenciales.
Juanjo Bravo